TRIUNGHIUL

1. Notiuni teoretice

2. Triunghiul

Un triunghi este una din formele fundamentale ale geometriei : un poligon format din trei laturi care se intalnesc doua cate doua si formeaza trei unghiuri interne .

2.1  Tipuri de triunghiuri

• triunghiul echilateral – este acel triunghi care are toate laturile egale, totodată are şi unghurile egale între ele cu masura fiecarui unghi de 60°.Triunghiul echilateral este un poligon regulat .
• triunghiul isoscel – are două laturi egale între ele, de asemenea şi cele două unghiuri opuse unghiului dintre laturile egale sunt congruente.
• triunghiul dreptunghic – unul dintre unghiurile triunghiului are 90 de grade.
• triunghiul obtuzunghic – unul dintre unghiurile triunghiului are măsura mai mare decât 90 de grade
• Triunghi scalen (sau oarecare) – are toate cele trei laturi (şi unghiuri) diferite.
• Triunghi ascuţitunghic – toate din unghiurile mai mici de 90° .

Linii importante în triunghi

1.Bisectoarea– este semidreapta care împarte un unghi în două unghiuri congruente;sunt concurente în I, centrul cercului înscris in triunghi  :

2. Mediatoarea– este perpendiculară pe mijlocul unei laturi ;sunt concurente în O,centrul  cercului circumscris     :

3. Înălţimea-perpendiculara dintr-un vârf pe latura opusă. Cele trei perpendiculare ale triunghiului se intersecteaza intr-un punct (H) numit ortocentrul triunghiului. Orocentul triunghiului se gaseste in interiorul triunghiului daca triunghiul este ascutitunghic ; daca triunghiul este obtuzunghic atunci ortocentrul (H) este pozitionat in exteriorul repectivului triunghi :

4.Mediana– este segmentul de dreapta care uneşte un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.Medianele sunt concurente în G,centrul de greutate. Centrul de greutate se gaseste la 1/3 de bază şi 2/3 de vârf.

5. Linia mijlocie in triunghi este segmentul de dreapta care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi. Este paralela cu cea de-a treia latura si masoara jumatate din lungimea acesteia.

3. Proprietati ale triunghiulilor

3.1 Triunghiul isoscel :

a)  Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile de la baza sunt congruente.

b)  Bisectoarea unghiului opus bazei unui triunghi isoscel este înălţime, mediană şi mediatoare.

c)  Liniile corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente;

d)  Oricare ar fi un triunghi isoscel, mediatoarea bazei triunghiului este axa de simetrie a triunghiului

3.2 Triunghiul echilateral

Triunghiul echilateral are uramatoarele proprietati :

– Prezinta trei axe de simetrie ;

– Cele trei unghiuri ale unui triunghi echilateral sunt egale si masoara fiecare 60° ;

– Laturile triunghiului echilateral au aceasi lungime ;

– Medianele,mediatoare, bisectoare şi înălţimi se confunda intre ele;

– Medianele (mediatoarele, bisectoarele si inaltimile) unui triunghi echilateral sunt congruente ;

– Mijloacele laturilor formează un alt triunghi echilateral.

Constructie geometrica

Triunghiul echilateral se construieşte folosind un compas. Se desenează un cerc de rază r, se plasează vârful compasului într-un punct de pe cerc şi se desenează un cerc de aceeaşi rază. Cele două cercuri se intersectează în două puncte. Prin unirea celor două centre ale cercurilor cu unul din punctele de intersecţie se obţine un triunghi echilateral.

_Formule

 

Presupunand ca laturile au lungimea a atunci sunt valabile urmaoarele formule :

– Perimetrul P este :

– Înalţimea h este :

– Aria A este dată de formula:

– Raza cercului circumscris r_­­u este : 

– Raza cercului inscris r triunghiului este :

SURSA